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如何計算等腰三角形的面積

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目錄方法1：通過邊長計算面積1、複習平行四邊形的面積計算。2、比較三角形和平行四邊形。3、找到等腰三角形的底邊。4、在底邊和對角頂點之間畫一條線段。5、看看等腰三角形的半邊。6、使用勾股定理7、求出"h"。8、將三角形的值代入進去，求出"h"。9、在面積公式中代入底和高。10、試着解答難度更高的例題。方法2：使用三角學1、從一條邊和一個角開始。2、將等腰三角形分成兩個直角三角形。3、使用三角學，算出"h"的值。4、算出剩下那條邊的長度。5、將x與等腰三角形的底邊關聯起來。6、將你算出的"h"值和"b"值代入到基礎的面積公式。7、將這種計算方法變成通用公式。等腰三角形是有兩條邊邊長相等的三角形。這兩條等邊與底邊所成的角度相等，而且交點位於底邊中點的正上方。你可以用直尺和兩支長度一樣的鉛筆來做試驗。如果你試着把三角形向任意方向傾斜，鉛筆筆尖就無法相交。等腰三角形這些特別的屬性讓你只需要幾條信息，就能計算出其面積。

方法1：通過邊長計算面積

1、複習平行四邊形的面積計算。任何有兩組平行邊的四邊形都是平行四邊形，包括正方形和矩形。所有平行四邊形都有一個簡單的面積公式：面積等於底乘以高，即A = bh。如果將平行四邊形平放在水平面上，則底邊是接觸水平面的那條邊。顧名思義，高則是離地面的高度，即底邊到對邊的距離。測量時，高應該與底邊成90度直角。對於正方形和矩形，高就等於垂直邊的長度，因為這些邊與地面成直角。

2、比較三角形和平行四邊形。這兩種形狀之間有一種簡單的關係。沿對角線將平行四邊形切成兩半，我們就得到了兩個相同的三角形。反之，如果有兩個相同的三角形，你可以將它們組合到一起，得到一個平行四邊形。這意味着任何三角形的面積都可以被寫成A = ?bh，即對應的平行四邊形面積的一半。

3、找到等腰三角形的底邊。現在你已經知道公式了，但在等腰三角形中，到底什麼是"底"，什麼是"高"呢？底比較好理解，直接用等腰三角形不相等的第三條邊就可以了。例如，如果等腰三角形的邊長分別為5cm、5cm和6cm，則6cm那條邊就是底邊。

如果三角形的三條邊邊長都相等，即該三角形是等邊三角形，那麼你可以選任意一條邊做底邊。等邊三角形是特殊的等腰三角形，但你可以用相同的方法來計算面積。

4、在底邊和對角頂點之間畫一條線段。畫的線段與底邊應該成直角。線段的長度就是三角形的高，我們以"h"指代。算出"h"的值後，你就能求出面積。在等腰三角形中，這條線段與底邊的交點總是位於底邊的中點。

5、看看等腰三角形的半邊。注意，是用等腰三角形的高將它分成兩個相同的直角三角形。看其中一個，確定三條邊：一條直角邊的邊長等於底邊的一半： ${displaystyle {frac {b}{2}}}$ 。

另一條直角邊是高"h"。

直角三角形的斜邊是等腰三角形的腰。設它為"s"。

6、使用勾股定理。只要知道了兩條直角邊的的長度，你就能用勾股定理算出第三條邊的長度：(邊1) + (邊2) = (斜邊)，將我們在此問題中使用的變量代入進去，得到 ${displaystyle ({frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}}$ .你可能已經學過勾股定理，公式是 ${displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ 。用"邊"和"斜邊"來代替a、b、c，可以避免與之前的三角形變量相混淆。

7、求出"h"。記住，面積公式用要用到"b"和"h"，但你還不知道"h"值。將公式變形，求出"h"： ${displaystyle ({frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}}$
${displaystyle h^{2}=s^{2}-({frac {b}{2}})^{2}}$
${displaystyle h={sqrt {(}}s^{2}-({frac {b}{2}})^{2})}$ 。

8、將三角形的值代入進去，求出"h"。知道這個公式後，你可以將它用於任何邊長已知的等腰三角形。只要將底邊長度代入"b"，將腰的長度代入"s"，然後就能算出"h"的值。例如，等腰三角形的邊長分別為5 cm、5 cm和6 cm，則"b"= 6，而"s"= 5。

將這些值代入公式：
${displaystyle h={sqrt {(}}s^{2}-({frac {b}{2}})^{2})}$
${displaystyle h={sqrt {(}}5^{2}-({frac {6}{2}})^{2})}$
${displaystyle h={sqrt {(}}25-3^{2})}$
${displaystyle h={sqrt {(}}25-9)}$
${displaystyle h={sqrt {(}}16)}$
${displaystyle h=4}$ cm。

9、在面積公式中代入底和高。知道這些值後，你就可以使用本節開頭的公式了，即面積 = ?bh。將你已知的b和h值代入到本公式中，計算出答案。記得為你的答案加上平方單位。這裏仍然使用以上示例，邊長為5-5-6的三角形底長為6 cm，高為4 cm。

A = ?bh
A = ?(6cm)(4cm)
A = 12cm。

10、試着解答難度更高的例題。大部分等腰三角形的面積計算難度要高於以上示例。算出的高通常包含平方根，無法被簡化為整數。如果出現這種情況，可以將高寫成簡化形式的平方根。這裏有一個示例：求邊長分別為8cm、8cm和4cm的三角形的面積。

將邊長為4cm，與其他邊的邊長不相等的那條邊當做"b"。

高 ${displaystyle h={sqrt {8^{2}-({frac {4}{2}})^{2}}}}$
${displaystyle={sqrt {64-4}}}$
${displaystyle={sqrt {60}}}$

分解因數來簡化平方根： ${displaystyle h={sqrt {60}}={sqrt {4*15}}={sqrt {4}}{sqrt {15}}=2{sqrt {15}}}$ 。

面積 ${displaystyle={frac {1}{2}}bh}$
${displaystyle={frac {1}{2}}(4)(2{sqrt {15}})}$
${displaystyle=4{sqrt {15}}}$

答案寫成這個樣子就可以了，你也可以在計算器中輸入這個值，求出一個近似的小數，即約15.49平方釐米。

方法2：使用三角學

1、從一條邊和一個角開始。如果學過三角學，那麼即使不知道等腰三角形某一條邊的長度，你也可以算出它的面積。這裏有一道例題，你只知道以下條件：腰的長度"s"為10cm。

兩條腰所成的夾角θ等於120度。

2、將等腰三角形分成兩個直角三角形。以兩條腰的交點為起點，向底邊畫一條垂直於底邊的線段。這樣，你就得到了兩個相同的直角三角形。這條線段將角θ分成了兩個相等的角。兩個三角形各有一個角的角度等於?θ，而在本例中，(?)(120) = 60度。

3、使用三角學，算出"h"的值。由於得到的是直角三角形，所以你可以使用正弦、餘弦和正切三角函數。本例題中，你知道斜邊，想算出與已知角的鄰邊"h"的長度值。由於餘弦 = 鄰邊/斜邊，我們可以利用已知角求出"h"：cos(θ/2) = h / s

cos(60?) = h / 10

h = 10cos(60?)

4、算出剩下那條邊的長度。在這個直角三角形中，還有一條邊的長度是我們未知的，你可以將它設為"x"。因為正弦 = 對邊/斜邊，所以：sin(θ/2) = x / s

sin(60?) = x / 10

x = 10sin(60?)

5、將x與等腰三角形的底邊關聯起來。現在你可以將關注的對象"擴大到"整個等腰三角形。由於底邊"b"被分為兩段，每段長度均為"x"，所以"b"等於2倍的"x"。

6、將你算出的"h"值和"b"值代入到基礎的面積公式。知道底邊和高的長度後，你可以使用標準公式A = ?bh： ${displaystyle A={frac {1}{2}}bh}$
${displaystyle={frac {1}{2}}(2x)(10cos60)}$
${displaystyle=(10sin60)(10cos60)}$
${displaystyle=100sin(60)cos(60)}$